Henry Segerman: Materiële harmonie in wiskunde

2024 Auteur: Seth Attwood | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-16 16:13

Volgens de legende was Pythagoras de eerste die ontdekte dat twee even uitgerekte snaren een aangenaam geluid voortbrengen als hun lengtes als kleine gehele getallen worden gerelateerd. Sindsdien zijn mensen gefascineerd door de mysterieuze verbinding tussen schoonheid en wiskunde, een volledig materiële harmonie van vormen, trillingen, symmetrie - en een perfecte abstractie van getallen en relaties.

Deze verbinding is kortstondig, maar tastbaar; het is niet voor niets dat kunstenaars al jaren de wetten van de geometrie hanteren en zich laten inspireren door wiskundige wetten. Henry Segerman vond het moeilijk om deze bron van ideeën los te laten: hij is immers wiskundige van beroep en beroep.

Klein flesje “Door de randen van twee Mobius-strips mentaal te lijmen”, zegt Henry Segerman, “krijg je een Klein flesje, dat ook één oppervlak heeft. Hier zien we een Klein flesje gemaakt van Mobius strips met een ronde rand.

Integendeel, hoe het eruit zou kunnen zien in de driedimensionale ruimte. Aangezien de originele "ronde" Mobius-strips naar het oneindige gaan, zal zo'n Klein flesje twee keer oneindig doorgaan en zichzelf kruisen, wat te zien is in het beeld." Een vergrote kopie van dit beeldhouwwerk siert de afdeling Wiskunde en Statistiek van de Universiteit van Melbourne.

Fractals

"Ik ben geboren in een familie van wetenschappers en ik denk dat mijn interesse in alles wat geavanceerd ruimtelijk denken vereist, hiermee verband houdt", zegt Henry. Vandaag is hij al afgestudeerd aan de Oxford Graduate and Doctoral Studies aan Stanford Universities, en bekleedt hij de functie van Associate Professor aan de University of Oklahoma.

Maar een succesvolle wetenschappelijke carrière is slechts één kant van zijn veelzijdige persoonlijkheid: meer dan 12 jaar geleden begon de wiskundige met het organiseren van kunstevenementen … in de virtuele wereld van Second Life.

Deze driedimensionale simulator met elementen van een sociaal netwerk was toen erg populair, waardoor gebruikers niet alleen met elkaar konden communiceren, maar ook hun virtuele "avatars" en ruimtes konden uitrusten voor entertainment, werk, enz.

Naam: Henry Segerman

Geboren in 1979

Opleiding: Stanford University

Stad: Stillwater, VS

Motto: "Neem maar één idee, maar laat het zo duidelijk mogelijk zien."

Segerman kwam hier, gewapend met formules en getallen, en rangschikte zijn virtuele wereld op een wiskundige manier, en vulde hem met ongekende fractale figuren, spiralen en zelfs tesseracts, vierdimensionale hyperkubussen. "Het resultaat is een projectie van een vierdimensionale hyperkubus in het driedimensionale universum van Second Life - dat zelf een projectie is van een driedimensionale virtuele wereld op een tweedimensionaal, plat scherm", merkt de kunstenaar op.

Hilbert's curve: een ononderbroken lijn vult de ruimte van een kubus, die zichzelf nooit onderbreekt of snijdt.

Hilbert-curven zijn fractale structuren, en als je inzoomt, kun je zien dat delen van deze curve de vorm van het geheel volgen. "Ik heb ze duizenden keren gezien in illustraties en computermodellen, maar toen ik voor het eerst zo'n 3D-sculptuur in handen nam, merkte ik meteen dat het ook veerkrachtig was", zegt Segerman. "De fysieke belichaming van wiskundige concepten is altijd verrassend met iets."

Hij werkte echter veel liever met materiële sculpturen. "Er circuleren voortdurend enorme hoeveelheden informatie om ons heen", zegt Segerman. - Gelukkig heeft de echte wereld een zeer grote bandbreedte, die nog niet beschikbaar is op het web.

Geef een persoon een voltooid ding, een integrale vorm - en hij zal het onmiddellijk in al zijn complexiteit waarnemen, zonder te wachten op het laden. Dus sinds 2009 heeft Segerman iets meer dan honderd sculpturen gemaakt, en elk van hen is een visuele en, voor zover mogelijk, exacte fysieke belichaming van abstracte wiskundige concepten en wetten.

veelvlakken

De evolutie van Segermans artistieke experimenten met 3D-printen is een vreemde herhaling van de evolutie van wiskundige ideeën. Tot zijn eerste experimenten behoorden de klassieke platonische lichamen, een set van vijf symmetrische figuren, gevouwen in regelmatige driehoeken, vijfhoeken en vierkanten. Ze werden gevolgd door semi-regelmatige veelvlakken - 13 Archimedische lichamen, waarvan de vlakken worden gevormd door ongelijke regelmatige veelhoeken.

Stanford Rabbit 3D-model gemaakt in 1994. Het bestaat uit bijna 70.000 driehoeken en dient als een eenvoudige en populaire test van de prestaties van softwarealgoritmen. Op een konijn kun je bijvoorbeeld de efficiëntie testen van datacompressie of oppervlaktevereffening voor computergraphics.

Daarom is deze vorm voor specialisten hetzelfde als de uitdrukking "Eet nog wat van deze zachte Franse broodjes" voor degenen die graag met computerlettertypen spelen. De Stanford Bunny-sculptuur is hetzelfde model, waarvan het oppervlak is geplaveid met de letters van het woord bunny.

Reeds deze eenvoudige vormen, die zijn gemigreerd van tweedimensionale illustraties en de ideale wereld van de verbeelding naar de driedimensionale realiteit, roepen innerlijke bewondering op voor hun laconieke en perfecte schoonheid. “De relatie tussen wiskundige schoonheid en de schoonheid van visuele of geluidskunstwerken lijkt mij erg fragiel.

Veel mensen zijn zich immers scherp bewust van de ene vorm van deze schoonheid, terwijl ze de andere totaal niet begrijpen. Wiskundige ideeën kunnen worden vertaald in zichtbare of vocale vormen, maar niet allemaal, en lang niet zo gemakkelijk als het lijkt', voegt Segerman eraan toe.

Al snel volgden meer en meer complexe vormen op de klassieke figuren, tot die waar Archimedes of Pythagoras nauwelijks aan hadden kunnen denken - regelmatige veelvlakken die Lobatsjevski's hyperbolische ruimte zonder interval vullen.

Zulke figuren met ongelooflijke namen als "tetraëdrische honingraat van orde 6" of "zeshoekige mozaïekhoningraat" kunnen niet worden voorgesteld zonder een visueel beeld bij de hand. Of - een van de sculpturen van Segerman, die ze vertegenwoordigen in onze gebruikelijke driedimensionale Euclidische ruimte.

Platonische lichamen: een tetraëder, octaëder en icosaëder gevouwen in regelmatige driehoeken, evenals een kubus en een icosaëder bestaande uit vierkanten op basis van vijfhoeken.

Plato associeerde ze zelf met vier elementen: "gladde" octaëdrische deeltjes, naar zijn mening, gevouwen lucht, "vloeibare" icosaëders - water, "dichte" kubussen - aarde, en scherpe en "doornige" tretraëders - vuur. Het vijfde element, de dodecaëder, werd door de filosoof beschouwd als een deeltje van de ideeënwereld.

Het werk van de kunstenaar begint met een 3D-model, dat hij bouwt in het professionele Rhinoceros-pakket. Over het algemeen is dit hoe het eindigt: de productie van sculpturen zelf, het printen van het model op een 3D-printer, Henry bestelt eenvoudig via Shapeways, een grote online community van 3D-printenthousiastelingen, en ontvangt een afgewerkt object gemaakt van plastic of op staal-brons gebaseerde metalen matrixcomposieten. "Het is heel gemakkelijk", zegt hij. "Je uploadt gewoon een model naar de site, klikt op de knop Toevoegen aan winkelwagentje, plaatst een bestelling en binnen een paar weken wordt het per post bij je afgeleverd."

Figuur Acht Complement Stel je voor dat je een knoop in een vaste stof legt en deze vervolgens verwijdert; de resterende holte wordt het complement van de knoop genoemd. Dit model toont de toevoeging van een van de eenvoudigste knopen, het cijfer acht.

schoonheid

Uiteindelijk neemt de evolutie van Segermans wiskundige sculpturen ons mee naar het complexe en betoverende veld van de topologie. Deze tak van de wiskunde bestudeert de eigenschappen en vervormingen van platte oppervlakken en ruimten van verschillende afmetingen, en hun bredere kenmerken zijn daarvoor belangrijk dan voor klassieke meetkunde.

Hier kan een kubus gemakkelijk in een bal worden veranderd, zoals plasticine, en een kopje met een handvat kan in een donut worden gerold zonder iets belangrijks erin te breken - een bekend voorbeeld belichaamd in Segerman's elegante Topological Joke.

Het tesseract is een vierdimensionale kubus: net zoals een vierkant kan worden verkregen door een segment loodrecht daarop te verplaatsen op een afstand die gelijk is aan zijn lengte, kan een kubus worden verkregen door op dezelfde manier een vierkant in drie dimensies te kopiëren en door een kubus te verplaatsen in de vierde zullen we een tesseract of hyperkubus "tekenen". Het zal 16 hoekpunten en 24 vlakken hebben, waarvan de projecties in onze driedimensionale ruimte weinig lijken op een gewone driedimensionale kubus.

"In de wiskunde is de esthetische zin erg belangrijk, wiskundigen houden van" mooie "stellingen, - betoogt de kunstenaar. - Het is moeilijk vast te stellen waaruit deze schoonheid precies bestaat, zoals in andere gevallen inderdaad. Maar ik zou zeggen dat de schoonheid van de stelling in zijn eenvoud zit, waardoor je iets kunt begrijpen, enkele eenvoudige verbanden kunt zien die voorheen ongelooflijk complex leken.

De kern van wiskundige schoonheid kan puur, effectief minimalisme zijn - en een verbaasde uitroep van "Aha!" ". De diepe schoonheid van wiskunde kan net zo ontmoedigend zijn als de ijzige eeuwigheid van het paleis van de Sneeuwkoningin. Al deze koude harmonie weerspiegelt echter onveranderlijk de innerlijke orde en regelmaat van het universum waarin we leven. Wiskunde is gewoon een taal die onmiskenbaar past in deze elegante en complexe wereld.

Paradoxaal genoeg bevat het fysieke overeenkomsten en toepassingen voor bijna elke uitspraak in de taal van wiskundige formules en relaties. Zelfs de meest abstracte en "kunstmatige" constructies zullen vroeg of laat een toepassing vinden in de echte wereld.

Een topologische grap: vanuit een bepaald gezichtspunt zijn de oppervlakken van een cirkel en een donut "hetzelfde", of beter gezegd, ze zijn homeomorf, omdat ze in staat zijn om zonder breuken en lijmen in elkaar te transformeren, dankzij geleidelijke vervorming.

Euclidische meetkunde werd een weerspiegeling van de klassieke stationaire wereld, differentiaalrekening kwam goed van pas voor de Newtoniaanse fysica. De ongelooflijke Riemann-metriek, zo bleek, is noodzakelijk om het onstabiele universum van Einstein te beschrijven, en multidimensionale hyperbolische ruimten zijn toegepast in de snaartheorie.

In deze vreemde overeenkomst van abstracte berekeningen en getallen met de fundamenten van onze werkelijkheid ligt misschien het geheim van de schoonheid die we noodzakelijkerwijs voelen achter alle koude berekeningen van wiskundigen.