Wat zijn fractals: de schoonheid van wiskunde en oneindigheid

2024 Auteur: Seth Attwood | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-16 16:13

Fractals zijn al een eeuw bekend, goed bestudeerd en hebben talloze toepassingen in het leven. Dit fenomeen is echter gebaseerd op een heel eenvoudig idee: een veelheid aan vormen, oneindig in schoonheid en variëteit, kan worden verkregen uit relatief eenvoudige structuren met slechts twee bewerkingen - kopiëren en schalen.

Wat hebben een boom, een kust, een wolk of bloedvaten in onze hand met elkaar gemeen? Op het eerste gezicht lijkt het alsof al deze objecten niets met elkaar gemeen hebben. In feite is er echter één eigenschap van structuur die inherent is aan alle opgesomde objecten: ze lijken op elkaar. Van de tak, maar ook van de stam van de boom, zijn er kleinere takken, van hen - zelfs kleinere, enz., Dat wil zeggen, de tak is als de hele boom.

De bloedsomloop is op dezelfde manier gerangschikt: arteriolen vertrekken van de slagaders, en van hen - de kleinste haarvaten waardoor zuurstof de organen en weefsels binnenkomt. Laten we eens kijken naar satellietbeelden van de zeekust: we zullen baaien en schiereilanden zien; laten we er eens naar kijken, maar vanuit vogelperspectief: we zullen baaien en kapen zien; Stel je nu voor dat we op het strand staan en naar onze voeten kijken: er zijn altijd kiezelstenen die verder in het water steken dan de rest.

Dat wil zeggen, de kustlijn blijft gelijk aan zichzelf wanneer ingezoomd. De Amerikaanse (hoewel opgegroeid in Frankrijk) wiskundige Benoit Mandelbrot noemde deze eigenschap van objecten fractaliteit, en dergelijke objecten zelf - fractals (van het Latijnse fractus - gebroken).

Wat is een fractal?

Dit begrip heeft geen strikte definitie. Daarom is het woord "fractal" geen wiskundige term. Gewoonlijk is een fractal een geometrische figuur die aan een of meer van de volgende eigenschappen voldoet: • Hij heeft bij elke vergroting een complexe structuur (in tegenstelling tot bijvoorbeeld een rechte lijn waarvan een deel de eenvoudigste geometrische figuur is - een lijnstuk). • Lijkt (ongeveer) op zichzelf. • Heeft een fractionele Hausdorff (fractale) dimensie, die groter is dan de topologische. • Kan worden gebouwd met recursieve procedures.

Meetkunde en Algebra

De studie van fractals aan het begin van de 19e en 20e eeuw was eerder episodisch dan systematisch, omdat eerdere wiskundigen voornamelijk 'goede' objecten bestudeerden die vatbaar waren voor onderzoek met behulp van algemene methoden en theorieën. In 1872 construeert de Duitse wiskundige Karl Weierstrass een voorbeeld van een continue functie die nergens differentieerbaar is. De constructie was echter volledig abstract en moeilijk waar te nemen.

Daarom vond de Zweed Helge von Koch in 1904 een continue curve uit, die nergens een raaklijn heeft, en die vrij eenvoudig te tekenen is. Het bleek dat het de eigenschappen van een fractal heeft. Een van de varianten van deze curve wordt de "Koch-sneeuwvlok" genoemd.

De ideeën van zelfgelijkenis van figuren werden opgepikt door de Fransman Paul Pierre Levy, de toekomstige mentor van Benoit Mandelbrot. In 1938 publiceerde hij zijn artikel "Vlakke en ruimtelijke krommen en oppervlakken, bestaande uit delen die vergelijkbaar zijn met het geheel", waarin een andere fractal wordt beschreven - de Lévy C-curve. Al deze bovenstaande fractals kunnen voorwaardelijk worden toegeschreven aan één klasse van constructieve (geometrische) fractals.

Een andere klasse zijn dynamische (algebraïsche) fractals, waaronder de Mandelbrot-verzameling. De eerste studies in deze richting begonnen aan het begin van de 20e eeuw en worden geassocieerd met de namen van de Franse wiskundigen Gaston Julia en Pierre Fatou. In 1918 werd Julia's memoires van bijna tweehonderd pagina's gepubliceerd, gewijd aan iteraties van complexe rationale functies, waarin Julia's sets werden beschreven - een hele familie van fractals die nauw verwant zijn aan de Mandelbrot-set. Dit werk werd bekroond met de prijs van de Franse Academie, maar het bevatte geen enkele illustratie, dus het was onmogelijk om de schoonheid van de ontdekte objecten te waarderen.

Ondanks het feit dat dit werk Julia verheerlijkte onder de wiskundigen van die tijd, werd het snel vergeten. Pas een halve eeuw later kwamen computers weer onder de aandacht: zij waren het die de rijkdom en schoonheid van de wereld van fractals zichtbaar maakten.

Fractale afmetingen

Zoals u weet, is de afmeting (aantal metingen) van een geometrische figuur het aantal coördinaten dat nodig is om de positie te bepalen van een punt dat op deze figuur ligt.

De positie van een punt op een kromme wordt bijvoorbeeld bepaald door één coördinaat, op een oppervlak (niet noodzakelijkerwijs een vlak) door twee coördinaten, in de driedimensionale ruimte door drie coördinaten.

Vanuit een meer algemeen wiskundig oogpunt kun je de dimensie op deze manier definiëren: een toename van lineaire dimensies, zeg twee keer, voor eendimensionale (topologisch oogpunt) objecten (segment) leidt tot een toename in grootte (lengte) tweemaal, voor tweedimensionaal (vierkant) leidt dezelfde toename in lineaire afmetingen tot een toename in grootte (oppervlak) met 4 keer, voor driedimensionaal (kubus) - met 8 keer. Dat wil zeggen, de "echte" (zogenaamde Hausdorff) dimensie kan worden berekend als de verhouding van de logaritme van een toename van de "grootte" van een object tot de logaritme van een toename van de lineaire grootte. Dat wil zeggen, voor het segment D = log (2) / log (2) = 1, voor het vliegtuig D = log (4) / log (2) = 2, voor het volume D = log (8) / log (2) = 3.

Laten we nu de afmeting van de Koch-curve berekenen, voor de constructie waarvan het eenheidssegment in drie gelijke delen wordt verdeeld en het middelste interval wordt vervangen door een gelijkzijdige driehoek zonder dit segment. Met een drievoudige toename van de lineaire afmetingen van het minimumsegment, neemt de lengte van de Koch-curve toe in log (4) / log (3) ~ 1, 26. Dat wil zeggen, de dimensie van de Koch-curve is fractioneel!

Wetenschap en kunst

In 1982 werd Mandelbrots boek "The Fractal Geometry of Nature" gepubliceerd, waarin de auteur bijna alle op dat moment beschikbare informatie over fractals verzamelde en systematiseerde en deze op een gemakkelijke en toegankelijke manier presenteerde. In zijn presentatie legde Mandelbrot de nadruk niet op omslachtige formules en wiskundige constructies, maar op de geometrische intuïtie van de lezers. Dankzij computergegenereerde illustraties en historische verhalen, waarmee de auteur de wetenschappelijke component van de monografie vakkundig verwaterde, werd het boek een bestseller en werden fractals bekend bij het grote publiek.

Hun succes onder niet-wiskundigen is grotendeels te danken aan het feit dat met behulp van zeer eenvoudige constructies en formules die een middelbare scholier kan begrijpen, beelden van verbazingwekkende complexiteit en schoonheid worden verkregen. Toen personal computers krachtig genoeg werden, verscheen zelfs een hele trend in de kunst - fractal schilderen, en bijna elke computerbezitter kon het. Nu op internet kunt u gemakkelijk veel sites vinden die aan dit onderwerp zijn gewijd.

Oorlog en vrede

Zoals hierboven vermeld, is een van de natuurlijke objecten met fractale eigenschappen de kustlijn. Een interessant verhaal is met hem verbonden, of beter gezegd, met een poging om de lengte ervan te meten, die de basis vormde van Mandelbrots wetenschappelijke artikel, en dat ook wordt beschreven in zijn boek "The Fractal Geometry of Nature".

Dit is een experiment dat werd georganiseerd door Lewis Richardson, een zeer getalenteerde en excentrieke wiskundige, natuurkundige en meteoroloog. Een van de richtingen van zijn onderzoek was een poging om een wiskundige beschrijving te vinden van de oorzaken en waarschijnlijkheid van een gewapend conflict tussen de twee landen. Een van de parameters waarmee hij rekening hield, was de lengte van de gemeenschappelijke grens van de twee strijdende landen. Toen hij gegevens verzamelde voor numerieke experimenten, ontdekte hij dat in verschillende bronnen de gegevens over de gemeenschappelijke grens tussen Spanje en Portugal heel verschillend zijn.

Dit bracht hem tot het volgende: de lengte van de landsgrenzen hangt af van de heerser waarmee we ze meten. Hoe kleiner de schaal, hoe langer de rand. Dit komt doordat met een hogere vergroting rekening kan worden gehouden met steeds meer kustbochten, die voorheen werden genegeerd vanwege de ruwheid van de metingen. En als bij elke schaalvergroting de voorheen onbekende buigingen van de lijnen opengaan, dan blijkt dat de lengte van de grenzen oneindig is! Toegegeven, in werkelijkheid gebeurt dit niet - de nauwkeurigheid van onze metingen heeft een eindige limiet. Deze paradox wordt het Richardson-effect genoemd.

Constructieve (geometrische) fractals

Het algoritme voor het construeren van een constructieve fractal in het algemene geval is als volgt. Allereerst hebben we twee geschikte geometrische vormen nodig, laten we ze een basis en een fragment noemen. In de eerste fase wordt de basis van de toekomstige fractal afgebeeld. Vervolgens worden enkele van zijn onderdelen vervangen door een fragment dat op een geschikte schaal is genomen - dit is de eerste iteratie van de constructie. Vervolgens verandert de resulterende figuur enkele delen weer in figuren die lijken op een fragment, enz. Als we dit proces oneindig voortzetten, krijgen we in de limiet een fractal.

Laten we dit proces eens bekijken met de Koch-curve als voorbeeld. Als basis voor de Koch-curve kun je elke curve nemen (voor de "Koch-sneeuwvlok" is het een driehoek). Maar we zullen ons beperken tot het eenvoudigste geval - een segment. Een fragment is een onderbroken lijn die bovenaan in de figuur wordt weergegeven. Na de eerste iteratie van het algoritme, in dit geval, valt het initiële segment samen met het fragment, waarna elk van zijn samenstellende segmenten wordt vervangen door een onderbroken lijn, vergelijkbaar met een fragment, enz. De afbeelding toont de eerste vier stappen van dit proces.

In de taal van de wiskunde: dynamische (algebraïsche) fractals

Fractals van dit type ontstaan bij de studie van niet-lineaire dynamische systemen (vandaar de naam). Het gedrag van een dergelijk systeem kan worden beschreven door een complexe niet-lineaire functie (polynoom) f (z). Neem een startpunt z0 op het complexe vlak (zie kader). Beschouw nu zo'n oneindige reeks getallen op het complexe vlak, die elk van de volgende worden verkregen uit de vorige: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Afhankelijk van het beginpunt z0 kan zo'n rij zich anders gedragen: neigen naar oneindig als n -> ∞; convergeren naar een eindpunt; cyclisch een aantal vaste waarden aannemen; ook complexere opties zijn mogelijk.

Complexe getallen

Een complex getal is een getal dat uit twee delen bestaat - reëel en denkbeeldig, dat wil zeggen de formele som x + iy (hier zijn x en y reële getallen). ik is de zogenaamde. denkbeeldige eenheid, dat wil zeggen, een getal dat voldoet aan de vergelijking i ^ 2 = -1. De basis wiskundige bewerkingen worden gedefinieerd over complexe getallen - optellen, vermenigvuldigen, delen, aftrekken (alleen de vergelijkingsbewerking is niet gedefinieerd). Om complexe getallen weer te geven, wordt vaak een geometrische weergave gebruikt - op het vlak (het wordt complex genoemd), het reële deel wordt op de abscis gelegd en het denkbeeldige deel op de ordinaat, terwijl het complexe getal overeenkomt met een punt met Cartesisch coördinaten x en y.

Dus elk punt z van het complexe vlak heeft zijn eigen karakter van gedrag tijdens iteraties van de functie f (z), en het hele vlak is verdeeld in delen. In dit geval hebben de punten die op de grenzen van deze delen liggen de volgende eigenschap: voor een willekeurig kleine verplaatsing verandert de aard van hun gedrag sterk (dergelijke punten worden bifurcatiepunten genoemd). Het blijkt dus dat verzamelingen van punten met een bepaald type gedrag, evenals verzamelingen van vertakkingspunten, vaak fractale eigenschappen hebben. Dit zijn de Juliaverzamelingen voor de functie f (z).

Familie van draken

Door de basis en het fragment te variëren, kun je een verbazingwekkende verscheidenheid aan constructieve fractals krijgen.

Bovendien kunnen soortgelijke bewerkingen worden uitgevoerd in de driedimensionale ruimte. Voorbeelden van volumetrische fractals zijn de spons van Menger, de Sierpinski-piramide en andere.

De drakenfamilie wordt ook wel constructieve fractals genoemd. Soms worden ze bij de naam van de ontdekkers "draken van de Highway-Harter" genoemd (in hun vorm lijken ze op Chinese draken). Er zijn verschillende manieren om deze curve te plotten. De eenvoudigste en meest intuïtieve daarvan is deze: je moet een voldoende lange strook papier nemen (hoe dunner het papier, hoe beter) en deze dubbelvouwen. Buig het vervolgens nog twee keer in dezelfde richting als de eerste keer.

Na verschillende herhalingen (meestal na vijf of zes vouwen wordt de strook te dik om netjes verder te buigen), moet u de strook weer losmaken en proberen hoeken van 90˚ te maken bij de vouwen. Dan zal de ronding van de draak in profiel uitkomen. Natuurlijk zal dit slechts een benadering zijn, zoals al onze pogingen om fractale objecten weer te geven. Met de computer kun je nog veel meer stappen in dit proces weergeven en het resultaat is een heel mooi figuur.

De Mandelbrot-set is op een iets andere manier opgebouwd. Beschouw de functie fc (z) = z ^ 2 + c, waarbij c een complex getal is. Laten we een rij van deze functie construeren met z0 = 0, afhankelijk van de parameter c kan deze naar oneindig divergeren of begrensd blijven. Bovendien vormen alle waarden van c waarvoor deze rij is begrensd de Mandelbrot-verzameling. Het werd in detail bestudeerd door Mandelbrot zelf en andere wiskundigen, die veel interessante eigenschappen van deze set ontdekten.

Het is te zien dat de definities van de Julia- en Mandelbrot-verzamelingen op elkaar lijken. In feite zijn deze twee sets nauw verwant. De Mandelbrot-verzameling is namelijk alle waarden van de complexe parameter c waarvoor de Julia-verzameling fc (z) is verbonden (een verzameling wordt verbonden genoemd als deze niet in twee onsamenhangende delen kan worden gesplitst, met enkele aanvullende voorwaarden).

Fractals en leven

Tegenwoordig wordt de theorie van fractals veel gebruikt in verschillende gebieden van menselijke activiteit. Naast een puur wetenschappelijk object voor onderzoek en het al genoemde fractal-schilderij, worden fractals in de informatietheorie gebruikt om grafische gegevens te comprimeren (hier wordt vooral de zelfgelijkenis-eigenschap van fractals gebruikt - immers om een klein fragment van een tekening en transformaties waarmee je de rest van de onderdelen kunt krijgen, er is veel minder geheugen nodig dan voor het opslaan van het hele bestand).

Door willekeurige verstoringen toe te voegen aan de formules die de fractal definiëren, kan men stochastische fractals verkrijgen die zeer aannemelijk enkele echte objecten weergeven - reliëfelementen, het oppervlak van waterlichamen, sommige planten, die met succes worden gebruikt in de natuurkunde, aardrijkskunde en computergraphics om grotere resultaten te bereiken. gelijkenis van gesimuleerde objecten met echte. In de elektronica worden antennes geproduceerd die een fractale vorm hebben. Ze nemen weinig ruimte in beslag en bieden een vrij hoogwaardige signaalontvangst.

Economen gebruiken fractals om koerscurves te beschrijven (een eigenschap die door Mandelbrot is ontdekt). Dit besluit deze kleine excursie naar de verbazingwekkend mooie en diverse wereld van fractals.