Inhoudsopgave:

Platte, bolvormige of hyperbolische vorm van ons heelal?
Platte, bolvormige of hyperbolische vorm van ons heelal?

Video: Platte, bolvormige of hyperbolische vorm van ons heelal?

Video: Platte, bolvormige of hyperbolische vorm van ons heelal?
Video: Wat staat Turkije te wachten in 2023? | Horoscoop voor 2023 | 2023 Turkije Astrologie 2024, Maart
Anonim

Volgens ons is het heelal oneindig. Tegenwoordig weten we dat de aarde de vorm van een bol heeft, maar we denken zelden na over de vorm van het heelal. In de geometrie zijn er veel driedimensionale vormen als alternatief voor de "vertrouwde" oneindige ruimte. De auteurs leggen het verschil in de meest toegankelijke vorm uit.

Kijkend naar de nachtelijke hemel, lijkt het alsof de ruimte eeuwig doorgaat in alle richtingen. Dit is hoe we ons het heelal voorstellen - maar niet het feit dat het waar is. Er was immers een tijd dat iedereen dacht dat de aarde plat was: de kromming van het aardoppervlak is niet waarneembaar en het idee dat de aarde rond is, leek onbegrijpelijk.

Tegenwoordig weten we dat de aarde de vorm van een bol heeft. Maar we denken zelden na over de vorm van het universum. Terwijl de bol de platte aarde verving, bieden andere driedimensionale vormen alternatieven voor de "vertrouwde" oneindige ruimte.

Er kunnen twee vragen worden gesteld over de vorm van het universum - afzonderlijke maar onderling verbonden vragen. Een daarvan gaat over geometrie - nauwgezette berekeningen van hoeken en gebieden. Een andere gaat over topologie: hoe afzonderlijke delen samensmelten tot één enkele vorm.

Kosmologische gegevens suggereren dat het zichtbare deel van het heelal glad en homogeen is. De lokale structuur van de ruimte ziet er op elk punt en in elke richting bijna hetzelfde uit. Slechts drie geometrische vormen komen overeen met deze kenmerken - plat, bolvormig en hyperbolisch. Laten we deze vormen achtereenvolgens bekijken, enkele topologische overwegingen en conclusies op basis van kosmologische gegevens.

Platte universum

In feite is dit schoolgeometrie. De hoeken van een driehoek tellen op tot 180 graden en de oppervlakte van een cirkel is πr2. Het eenvoudigste voorbeeld van een platte driedimensionale vorm is een gewone oneindige ruimte, wiskundigen noemen het Euclidische, maar er zijn andere platte opties.

Het is niet eenvoudig om deze vormen voor te stellen, maar we kunnen onze intuïtie verbinden door in twee dimensies te denken in plaats van drie. Naast het gebruikelijke Euclidische vlak, kunnen we andere platte vormen maken door een stuk van het vlak uit te snijden en de randen te lijmen. Laten we zeggen dat we een rechthoekig stuk papier uitknippen en de tegenoverliggende randen ervan afplakken met plakband. Als je de bovenrand aan de onderrand lijmt, krijg je een cilinder.

Je kunt ook de rechterrand aan de linkerkant lijmen - dan krijgen we een donut (wiskundigen noemen deze vorm een torus).

U zult waarschijnlijk bezwaar maken: "Er is iets niet erg vlak." En je zult gelijk krijgen. We speelden een beetje vals met de platte torus. Als je op deze manier echt een torus probeert te maken van een stuk papier, zul je tegen een aantal problemen aanlopen. Het is gemakkelijk om een cilinder te maken, maar het zal niet werken om de uiteinden te lijmen: het papier zal langs de binnenste cirkel van de torus verkreukelen, maar het zal niet genoeg zijn voor de buitenste cirkel. Je moet dus een soort elastisch materiaal nemen. Maar uitrekken verandert de lengte en hoeken, en dus de hele geometrie.

Het is onmogelijk om een echte gladde fysieke torus te construeren uit een plat materiaal in een gewone driedimensionale ruimte zonder de geometrie te vervormen. Het blijft om abstract te speculeren over hoe het is om in een platte torus te leven.

Stel je voor dat je een tweedimensionaal wezen bent wiens universum een platte torus is. Omdat de vorm van dit universum is gebaseerd op een plat vel papier, blijven alle geometrische feiten die we gewend zijn hetzelfde - althans op een beperkte schaal: de hoeken van een driehoek zijn samen 180 graden, enzovoort. Maar met de verandering in de mondiale topologie door middel van trimmen en lijmen, zal het leven drastisch veranderen.

Om te beginnen heeft de torus rechte lijnen die in een lus lopen en terugkeren naar het startpunt.

Op een vervormde torus zien ze er gebogen uit, maar voor de bewoners van een platte torus lijken ze recht. En aangezien het licht in een rechte lijn reist, zul je jezelf van achteren zien als je direct in een willekeurige richting kijkt.

Het is alsof op het originele stuk papier licht door je heen ging, naar de linkerrand ging en dan weer aan de rechterkant verscheen, zoals in een videogame.

Hier is nog een andere manier om erover na te denken: je (of een lichtstraal) steekt een van de vier randen over en bevindt je in een nieuwe kamer, maar in feite is het dezelfde kamer, alleen vanuit een ander gezichtspunt. Als je door zo'n universum dwaalt, kom je een eindeloos aantal exemplaren van de originele kamer tegen.

Dit betekent dat je een oneindig aantal kopieën van jezelf meeneemt, waar je ook kijkt. Dit is een soort spiegeleffect, alleen zijn deze kopieën niet bepaald reflecties.

Op de torus komt elk van hen overeen met een of andere lus, waarlangs het licht naar je terugkeert.

Op dezelfde manier krijgen we een platte driedimensionale torus door de tegenovergestelde vlakken van een kubus of andere doos te lijmen. We zullen deze ruimte niet kunnen weergeven in een gewone oneindige ruimte - het past gewoon niet - maar we zullen in staat zijn om abstract te speculeren over het leven erin.

Als het leven in een tweedimensionale torus is als een eindeloze tweedimensionale reeks identieke rechthoekige kamers, dan is het leven in een driedimensionale torus als een eindeloze driedimensionale reeks identieke kubieke kamers. Ook u zult een oneindig aantal eigen exemplaren zien.

De driedimensionale torus is slechts een van de tien varianten van de eindige platte wereld. Er zijn ook oneindige platte werelden - bijvoorbeeld een driedimensionale analoog van een oneindige cilinder. Elk van deze werelden zal zijn eigen "kamer van het lachen" met "reflecties" hebben.

Zou ons universum een van de platte vormen kunnen zijn?

Als we de ruimte in kijken, zien we geen oneindig aantal van onze eigen kopieën. Hoe dan ook, het elimineren van platte vormen is niet eenvoudig. Ten eerste hebben ze allemaal dezelfde lokale geometrie als de Euclidische ruimte, dus het zal niet mogelijk zijn om ze te onderscheiden met lokale metingen.

Laten we zeggen dat je zelfs je eigen kopie hebt gezien, deze verre afbeelding laat alleen zien hoe jij (of je melkwegstelsel als geheel) er in het verre verleden uitzag, aangezien het licht een lange weg heeft afgelegd voordat het jou bereikte. Misschien zien we zelfs onze eigen kopieën - maar onherkenbaar veranderd. Bovendien staan verschillende exemplaren op verschillende afstanden van jou, dus ze zijn niet gelijk. En bovendien, zo ver weg dat we nog steeds niets zullen zien.

Om deze problemen te omzeilen, zoeken astronomen meestal niet naar kopieën van zichzelf, maar naar herhalende kenmerken in het verste zichtbare fenomeen - de kosmische microgolfachtergrondstraling, dit is een overblijfsel van de oerknal. In de praktijk betekent dit zoeken naar paren cirkels met bijpassende patronen van warme en koude plekken - er wordt aangenomen dat ze hetzelfde zijn, alleen van verschillende kanten.

Astronomen voerden in 2015 precies zo'n zoektocht uit dankzij de Planck Space Telescope. Ze verzamelden gegevens over de soorten samenvallende cirkels die we verwachten te zien in een platte 3D-torus of een andere platte 3D-vorm - een zogenaamde plaat - maar ze vonden niets. Dit betekent dat als we in een torus leven, deze zo groot blijkt te zijn dat eventuele herhalende fragmenten buiten het waarneembare heelal liggen.

Bolvorm

We zijn heel bekend met tweedimensionale bollen - dit is het oppervlak van een bal, een sinaasappel of de aarde. Maar wat als ons universum een driedimensionale bol is?

Het tekenen van een driedimensionale bol is moeilijk, maar het is gemakkelijk om het te beschrijven met een eenvoudige analogie. Als een tweedimensionale bol een verzameling is van alle punten op een vaste afstand van een centraal punt in de gewone driedimensionale ruimte, is een driedimensionale bol (of "trisphere") een verzameling van alle punten op een vaste afstand van een bepaald punt. centraal punt in de vierdimensionale ruimte.

Het leven in een driebol is heel anders dan het leven in een platte ruimte. Om het te visualiseren, stel je voor dat je een tweedimensionaal wezen bent in een tweedimensionale sfeer. De tweedimensionale bol is het hele universum, daarom kun je de driedimensionale ruimte om je heen niet zien en er niet in komen. In dit bolvormige universum reist het licht langs de kortste weg: in grote cirkels. Maar deze cirkels lijken je recht toe recht aan.

Stel je nu voor dat jij en je 2D-maatje rondhangen op de Noordpool, en hij ging wandelen. Als je weggaat, zal het aanvankelijk geleidelijk afnemen in je visuele cirkel - zoals in de gewone wereld, zij het niet zo snel als we gewend zijn. Dit komt omdat naarmate je visuele cirkel groeit, je vriend er steeds minder van in beslag neemt.

Maar zodra je vriend de evenaar overschrijdt, gebeurt er iets vreemds: hij begint in omvang toe te nemen, hoewel hij in feite blijft weggaan. Dit komt omdat het percentage dat ze in uw visuele cirkel innemen, toeneemt.

Op drie meter van de Zuidpool ziet je vriend eruit alsof hij drie meter van je af staat.

Als je de Zuidpool hebt bereikt, zal het je hele zichtbare horizon volledig vullen.

En als er niemand op de Zuidpool is, zal je visuele horizon nog vreemder zijn - jij bent het. Dit komt omdat het licht dat je uitstraalt zich door de bol zal verspreiden totdat het terugkomt.

Dit heeft direct invloed op het leven in het 3D-rijk. Elk punt van de driebol heeft een tegengestelde, en als daar een object is, zullen we het aan de hele lucht zien. Als er niets is, zullen we onszelf op de achtergrond zien - alsof ons uiterlijk op een ballon is geplaatst, vervolgens binnenstebuiten is gekeerd en opgeblazen tot de hele horizon.

Maar ook al is de driebol het fundamentele model voor sferische meetkunde, het is verre van de enige mogelijke ruimte. Zoals we verschillende platte modellen hebben gebouwd door stukken Euclidische ruimte te knippen en te lijmen, zo kunnen we bolvormige modellen bouwen door geschikte stukken trisfeer te lijmen. Elk van deze gelijmde vormen zal, net als de torus, het effect hebben van een "kamer van het lachen", alleen het aantal kamers in bolvormen zal eindig zijn.

Wat als ons universum bolvormig is?

Zelfs de meest narcistische onder ons zien onszelf niet als de achtergrond in plaats van de nachtelijke hemel. Maar, zoals in het geval van een platte torus, betekent het feit dat we iets niet zien helemaal niet dat het niet bestaat. De grenzen van een bolvormig heelal kunnen groter zijn dan de grenzen van de zichtbare wereld, en de achtergrond is simpelweg niet zichtbaar.

Maar in tegenstelling tot een torus kan een bolvormig heelal worden gedetecteerd met behulp van lokale metingen. Bolvormige vormen verschillen niet alleen van de oneindige Euclidische ruimte in de mondiale topologie, maar ook in de kleine meetkunde. Omdat rechte lijnen in de sferische meetkunde bijvoorbeeld grote cirkels zijn, zijn de driehoeken daar "mollig" dan de Euclidische, en de som van hun hoeken is groter dan 180 graden.

Kortom, het meten van kosmische driehoeken is de belangrijkste manier om te controleren hoe gekromd het universum is. Van elke hete of koude plek op de kosmische microgolfachtergrond zijn de diameter en de afstand tot de aarde, die de drie zijden van de driehoek vormen, bekend. We kunnen de hoek meten die wordt gevormd door de plek aan de nachtelijke hemel - en dit zal een van de hoeken van de driehoek zijn. We kunnen dan controleren of de combinatie van de lengtes van de zijden en de som van de hoeken overeenkomt met de vlakke, sferische of hyperbolische geometrie (waarbij de som van de hoeken van de driehoek kleiner is dan 180 graden).

De meeste van deze berekeningen, samen met andere metingen van kromming, gaan ervan uit dat het universum ofwel volledig vlak is of er heel dichtbij is. Een onderzoeksteam suggereerde onlangs dat sommige van de 2018-gegevens van de Planck Space Telescope meer pleiten voor een bolvormig universum, hoewel andere onderzoekers beweerden dat het gepresenteerde bewijsmateriaal kon worden toegeschreven aan statistische fouten.

hyperbolische geometrie

In tegenstelling tot een bol, die zichzelf sluit, opent hyperbolische geometrie of ruimte met negatieve kromming naar buiten. Dit is de geometrie van de hoed met brede rand, het koraalrif en het zadel. Het basismodel van hyperbolische meetkunde is oneindige ruimte, net als platte Euclidische. Maar aangezien een hyperbolische vorm veel sneller naar buiten uitzet dan een platte, is er geen manier om zelfs een tweedimensionaal hyperbolisch vlak in de gewone Euclidische ruimte te passen, als we de geometrie ervan niet willen vervormen. Maar er is een vertekend beeld van het hyperbolische vlak dat bekend staat als de Poincaré-schijf.

Vanuit ons oogpunt lijken de driehoeken nabij de grenscirkel veel kleiner dan die nabij het centrum, maar vanuit het oogpunt van hyperbolische meetkunde zijn alle driehoeken hetzelfde. Als we zouden proberen deze driehoeken werkelijk even groot af te beelden - misschien door elastisch materiaal te gebruiken en elke driehoek om de beurt op te blazen, vanuit het midden naar buiten - zou onze schijf lijken op een hoed met een brede rand en meer en meer buigen. En naarmate je dichter bij de grens komt, zou deze kromming uit de hand lopen.

In de gewone Euclidische meetkunde is de omtrek van een cirkel recht evenredig met de straal, maar in de hyperbolische meetkunde groeit de cirkel exponentieel ten opzichte van de straal. Een stapel driehoeken wordt gevormd nabij de grens van de hyperbolische schijf

Vanwege deze functie zeggen wiskundigen graag dat het gemakkelijk is om te verdwalen in hyperbolische ruimte. Als je vriend zich van je af beweegt in de normale Euclidische ruimte, zal hij beginnen weg te gaan, maar eerder langzaam, omdat je visuele cirkel niet zo snel groeit. In hyperbolische ruimte breidt je visuele cirkel exponentieel uit, dus je vriend zal snel krimpen tot een oneindig klein stipje. Dus als je zijn route niet hebt gevolgd, is het onwaarschijnlijk dat je hem later zult vinden.

Zelfs in hyperbolische meetkunde is de som van de hoeken van een driehoek minder dan 180 graden - de som van de hoeken van sommige driehoeken uit het Poincaré-schijfmozaïek is bijvoorbeeld slechts 165 graden.

Hun kanten lijken indirect, maar dat komt omdat we naar hyperbolische geometrie kijken door een vervormende lens. Voor een bewoner van de Poincaré-schijf zijn deze bochten eigenlijk rechte lijnen, dus de snelste manier om van punt A naar punt B te komen (beide aan de rand) is door een snede naar het midden.

Er is een natuurlijke manier om een driedimensionale analoog van de Poincaré-schijf te maken - neem een driedimensionale bal en vul deze met driedimensionale vormen, die geleidelijk afnemen naarmate ze de grensbol naderen, zoals driehoeken op een Poincaré-schijf. En net als bij vlakken en bollen, kunnen we een hele reeks andere driedimensionale hyperbolische ruimten creëren door geschikte stukken van een driedimensionale hyperbolische bal uit te snijden en de vlakken ervan te lijmen.

Welnu, is ons universum hyperbolisch?

Hyperbolische geometrie, met zijn smalle driehoeken en exponentieel groeiende cirkels, lijkt helemaal niet op de ruimte om ons heen. Inderdaad, zoals we al hebben opgemerkt, neigen de meeste kosmologische metingen naar een plat universum.

Maar we kunnen niet uitsluiten dat we in een bolvormige of hyperbolische wereld leven, omdat kleine fragmenten van beide werelden bijna plat lijken. Zo is de som van de hoeken van kleine driehoeken in de sferische meetkunde slechts iets meer dan 180 graden, en in de hyperbolische meetkunde slechts iets minder.

Dat is de reden waarom de ouden dachten dat de aarde plat was - de kromming van de aarde is niet zichtbaar voor het blote oog. Hoe groter de sferische of hyperbolische vorm, des te vlakker elk van zijn delen. Als ons universum een extreem grote sferische of hyperbolische vorm heeft, is het zichtbare deel zo dicht bij plat dat de kromming ervan alleen kan worden gedetecteerd met ultraprecieze instrumenten. en we hebben ze nog niet uitgevonden. …

Aanbevolen: