De regel van Leonardo - waarom volgt de dikte van de takken een patroon?

2024 Auteur: Seth Attwood | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-16 16:13

De sierlijke stam van de boom is verdeeld in takken, aanvankelijk weinig en krachtig, en die in dunnere en dunnere. Dit is zo mooi en zo natuurlijk dat bijna niemand van ons aandacht heeft besteed aan een eenvoudig patroon. Feit is dat de totale dikte van de takken op een bepaalde hoogte altijd gelijk is aan de dikte van de stam.

Dit feit werd 500 jaar geleden al opgemerkt door Leonardo Da Vinci, die, zoals u weet, zeer oplettend was. Deze relatie werd "Leonardo's Rule" genoemd en lange tijd kon niemand begrijpen waarom dit gebeurt.

In 2011 stelde de natuurkundige Christoph Elloy van de Universiteit van Californië een eigenaardige verklaring voor.

De "Leonardo-regel" geldt voor bijna alle bekende boomsoorten. De makers van computerspellen die realistische driedimensionale modellen van bomen maken, zijn zich er ook van bewust. Meer precies, deze regel bepaalt dat op de plaats waar de stam of tak gevorkt is, de som van de secties van de gevorkte takken gelijk zal zijn aan de sectie van de oorspronkelijke tak. Wanneer dan ook deze tak zich splitst, zal de som van de secties van zijn vier takken nog steeds gelijk zijn aan de sectie van de oorspronkelijke stam. Enzovoort.

Deze regel is wiskundig nog eleganter geschreven. Als een stam met diameter D wordt verdeeld in een willekeurig aantal takken n met diameters d1, d2, enzovoort, is de som van hun kwadratische diameters gelijk aan het kwadraat van de stamdiameter. Volgens de formule: D2 = ∑di2, waarbij i = 1, 2,… n. In het echte leven is de graad niet altijd strikt gelijk aan twee en kan variëren binnen 1, 8-2, 3, afhankelijk van de eigenaardigheden van de geometrie van een bepaalde boom, maar over het algemeen wordt de afhankelijkheid strikt nageleefd.

Vóór het werk van Elloy werd de hoofdversie beschouwd als het bestaan van een verband tussen de regel van Leonardo en de voeding van bomen. Om dit fenomeen te verklaren, suggereerden botanici dat deze verhouding optimaal is voor het systeem van leidingen waardoor water van de wortels van de boom naar het gebladerte stijgt. Het idee lijkt heel redelijk, al was het maar omdat het dwarsdoorsnede-oppervlak, dat de doorvoer van de buis bepaalt, direct afhangt van het kwadraat van de straal. De Franse natuurkundige Christophe Eloy is het hier echter niet mee eens - naar zijn mening is zo'n patroon niet verbonden met water, maar met lucht.

Om zijn versie te onderbouwen, creëerde de wetenschapper een wiskundig model dat het gebladerte van een boom verbindt met de windkracht die op een pauze inwerkt. De boom erin werd beschreven als gefixeerd op slechts één punt (de plaats van het voorwaardelijke vertrek van de stam onder de grond), en vertegenwoordigde een vertakkende fractale structuur (dat wil zeggen, een waarin elk kleiner element een min of meer exacte kopie van de oude).

Door winddruk aan dit model toe te voegen, introduceerde Elloy een bepaalde constante indicator van de grenswaarde, waarna de takken beginnen te breken. Op basis hiervan maakte hij berekeningen die de optimale dikte van de vertakkende takken zouden laten zien, zodat de weerstand tegen windkracht het beste zou zijn. En wat - hij kwam tot precies dezelfde relatie, met de ideale waarde van dezelfde waarde tussen 1, 8 en 2, 3.

De eenvoud en elegantie van het idee en het bewijs ervan zijn al door experts gewaardeerd. De ingenieur Pedro Reis uit Massachusetts merkt bijvoorbeeld op: "De studie plaatst bomen ter hoogte van kunstmatige constructies die speciaal zijn ontworpen om de wind te weerstaan - het beste voorbeeld daarvan is de Eiffeltoren." Het blijft afwachten wat de botanici hierover zullen zeggen.

“Ella gebruikte een eenvoudige mechanische benadering in zijn werk. Hij beschouwde de boom als een fractal (een figuur met een zekere mate van zelfgelijkenis), waarbij elke tak gemodelleerd werd als een balk met een vrij uiteinde. Onder deze aannames (en ook onder de voorwaarde dat de kans dat een tak breekt onder invloed van de wind constant in de tijd is) bleek dat de wet van Leonardo de kans minimaliseert dat boomtakken breken onder de druk van de wind. De collega's van Elloy waren het over het algemeen eens met zijn berekeningen en verklaarden zelfs dat de verklaring vrij eenvoudig en duidelijk was, maar om de een of andere reden had niemand er eerder aan gedacht.